Solution: ഏഴു തൂക്കക്കട്ടികൾ:1kg, 2kg, 4kg, 8kg, 16kg, 32kg, 64kg

---

എന്തായാലും പാഷയ്ക്ക് 1 കി, 2 കി എന്നി തൂക്ക കട്ടികൾ വേണം. ഇവാ രണ്ടും ഉപയോഗിച്ചു തന്നെ 3 കിലോയും തൂക്കാം , പക്ഷെ 4 കിലോ തൂക്കാൻ കഴിയില്ല. അപ്പോൾ 4 കിലോ കട്ടി കൈവശം വയ്ക്കണം. 1 കി, 2 കി, 4 കി എന്നി കട്ടികൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ. ഇവ ചേർത്ത് ഉപയോഗിച്ച് 5 , 6, 7 എന്നി തൂക്കങ്ങളും തൂക്കാം.
4 + 1 = 5; 4 + 2 = 6; 4 + 2 + 1 = 7
8 കി തൂക്കാൻ പ്രത്യേകം കട്ടി വേണം. 1 , 2 , 4 , 8 എന്നി കട്ടികൾ ചേർത്ത് ഉപയോഗിച്ച് 15 കിലോ വരെ എല്ലാ തൂക്കങ്ങളും തൂക്കാം. രണ്ടിന്റെ 0 മുതൽ k വരെയുള്ള ഘാതങ്ങൾ എല്ലാം ഉണ്ടെങ്കിൽ ഈ കട്ടികൾ ഉപയോഗിച്ച് 2( ^{k + 1)} – 1 വരെയുള്ള എല്ലാ തൂക്കങ്ങളും തൂക്കാം.
ഏതൊരു സംഖ്യയെയും രണ്ടിന്റെ ഘാതങ്ങളുടെ തുകയായി എഴുതാം. സംഖ്യയുടെ ദ്വയാങ്ക പ്രതിനിധികരണം (ബൈനറി റെപ്രെസെന്റഷന്) ഇതിൽ നിന്നാണ് കിട്ടുന്നത്. എത്രയാണോ തൂക്കേണ്ടത്, ആ സംഖ്യയുടെ ദ്വയാങ്ക പ്രതിനിധികരണത്തിൽ 1 ഉള്ള സ്ഥാനങ്ങൾക്കു സമമായ തൂക്ക കട്ടികൾ ഉപയോഗിച്ചാൽ മതി.

---

1kg, 2kg, 4kg, 8kg, 16kg, 32kg, 64kg Pasha definitely needs weights 1kg and 2kg. To measure a weight of 3kg, he could use the 1kg and 2kg weights together. But with just these two weights he cannot weigh out 4kg. So he needs a 4kg weight. With the 1, 2 and 4kg weights he can measure out 5, 6 and 7 kg as
1 + 4 = 5; 2 + 4 = 6; 1 + 2 + 4 = 7.
He needs an 8kg weight. With the 1, 2, 4 and 8kg weights in combination, he can measure any weight upto and including 15kg. After this he needs a new weight 16kg. Extending this reasoning, if he has k + 1 weights, each equal to the powers of 2 from 0 to k, he can weigh out any weight from 1 to 2( ^{k + 1)} – 1 .
This can be linked to the binary representation of a number. Every number can be expressed as a sum of powers of 2. To measure out some amount, express the number of kilograms as a binary number and choose those weights that which correspond to the 1 in the binary notation.”
 

---

Best Explanation : MANAS
To find the smallest number of weights Pasha needs, we can use a binary representation approach.
We can represent the numbers from 1 to 127 in binary:
1: 00000001
2: 00000010
3: 00000011
4: 00000100
…
127: 01111111

Each digit in the binary representation corresponds to a weight. If the digit is 1, then that weight is used to represent the corresponding power of 2 in the binary number. For example, in the binary number 01110101, the weights would be 1, 4, 8, 16, 32, and 64 kilograms.
Now, we need to find the smallest number of weights such that we can represent every number from 1 to 127. We can observe that 127 is represented in binary as 01111111, which means all the powers of 2 up to 64 are used. Hence, we need weights for 1, 2, 4, 8, 16, 32, and 64 kilograms.
So, Pasha needs 7 weights: 1 kg, 2 kg, 4 kg, 8 kg, 16 kg, 32 kg, and 64 kg. With these weights, he can weigh any amount from 1 kg to 127 kg.