Solution: 7744 ചോദ്യത്തിൽ പറഞ്ഞതനുസരിച്ച് സംഖ്യ aabb. എന്നായിരിക്കും, 11 ഇന്റെ ഗണിതവും ആയിരിക്കും
aabb ÷ 11 = a0b
സംഖ്യ പൂർണ വർഗ്ഗമായതുകൊണ്ടു a0b യും 11 ഇന്റെ ഗുണിതമാകണം
അതായതു . a + b = 11
സാദ്ധ്യതകൾ പരിശോധിച്ചാൽ സംഖ്യ 7744 ആണെന്ന് കാണാം.
The number is of the form aabb. It has to be divisible by 11.
aabb ÷ 11 = a0b
So a0b is divisible by 11 as well, given that it is a perfect square.
That means a + b has to be 11
Perfect squares end in 1, 4, 5, 6, 9
So possibilities are 7744, 6655, 5566, or 2299.
Of this only 7744 is a perfect square
Best Explanation : Umesh P Narendran
ആദ്യത്തെ രണ്ടക്കങ്ങളും a ആണെന്നും അവസാനത്തെ രണ്ടക്കങ്ങളും b ആണെന്നും ഇരിക്കട്ടേ. അപ്പോൾ സംഖ്യ = 1000a + 100a + 10b + b = 1100a + 11b = 11 x (100a + b) ആണ്. 11 ഇതിന്റെ ഒരു ഘടകമായതിനാൽ അത് (100a + b)-യുടെയും ഘടകമായിരിക്കും, എങ്കിലേ അവയുടെ ഗുണിതം പൂർണ്ണവർഗ്ഗമാകൂ. 11 കഴിഞ്ഞാൽ ബാക്കി ഒരു പൂർണ്ണവർഗ്ഗവും ആകണം.
100a + b = 11m^2 എന്നിരിക്കട്ടേ. ഈ സമവാക്യത്തെ (1) എന്നു വിളിക്കുക.
a, b എന്നിവ പത്തിൽ താഴെയുള്ള സംഖ്യകളായതിനാൽ (100a + b) എന്നത് “”a0b”” എന്ന രീതിയിലാവും. 11 കൊണ്ടു നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഒറ്റസ്ഥാനത്തെയും ഇരട്ടസ്ഥാനത്തെയും അക്കങ്ങൾ കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്നവയുടെ വ്യത്യാസം പൂജ്യമോ പതിനൊന്നോ ആവണം. അതായത് a + b – 0 = 11. അതായത്, b = 11-a. ഈ മൂല്യം (1)-ൽ കൊടുത്താൽ,
100a + (11-a) = 11m^2< br>
99a + 11 = 11m^2
9a + 1 = m^2
a-യ്ക്ക് 1, 2, …, 9 എന്നിങ്ങനെ മൂല്യങ്ങൾ ഇട്ടാൽ, a = 7 ആകുമ്പോൾ 9 x 7 + 1 = 8^2 എന്നു കാണാം. അപ്പോൾ a = 7, y = 11 – 7 = 4.
