Solution : 1,99,99,999. Explanation : ഒരു കോടി എണ്ണൽ സംഖ്യകളിൽ ഒന്ന് ഒരു കോടിയും മറ്റത്തെല്ലാം ഒന്നും ആകുമ്പോഴാണ് ആകെത്തുകയ്ക്കു ഏറ്റവും വലിയ വില ഉണ്ടാകുക. a , b എന്നീ ഒന്നിനേക്കാൾ വലിയ (a>1, b>1) രണ്ടു എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ കാര്യം നോക്കാം. ഇവയുടെ ഗുണനഫലം ab . തുക , a + b. ഇവയ്ക്കുപകരം ab , 1 എന്നീരണ്ടു എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ ഗുണനനഫലം മാറുന്നില്ല , ab തന്നെ. തുക ab + 1. തുകകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം നോക്കിയാൽ
(ab + 1) – (a + b)
= ab – a – b + 1
= (a-1) (b-1)
a യും b യും ഒന്നിനേക്കാൾ വലുതായതു കൊണ്ട് ഈ സംഖ്യാ ധനസംഖ്യ ആയിരിക്കും. അതായതു a , b എന്നി സംഖ്യകൾക്കു പകരം ab , 1 എന്നീ സംഖ്യകൾ എടുക്കുമ്പോൾ ഗുണനഫലം മാറുന്നില്ല പക്ഷെ ആകെത്തുക കൂടുന്നു. അതുകൊണ്ടു തന്നെയാണ് ഒരു കോടി എണ്ണൽ സംഖ്യകളിൽ ഒന്ന് ഒരു കോടിയും മറ്റുള്ളവയെല്ലാം ഒന്നും ആകുമ്പോഴാണ് ആകെത്തുക ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ ആകുന്നത്.
The sum will be greatest when one of the numbers is a crore and all others are 1. If there are two numbers greater than 1, say a and b, replacing them by ab and 1, retains the product and increases the sum. (a-1) (b – 1) > 0 implies ab + 1 > a + b. So to maximise the when all but one number are 1s.
Best Explanation :Maneesh M
ഒരു കോടി എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലമായുണ്ടാകുന്ന 10,000,000 ഒരു കോടി എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ തുക കണ്ടെത്താൻ, ഗുണനഫലം സ്ഥിരമായി നിലനിർത്തിക്കൊണ്ട് തുക പരമാവധിയാക്കിയാൽ മതി . ഇത് ചെയ്യാനുള്ള ഏറ്റവും നല്ല മാർഗം 10,000,000 എന്ന സംഖ്യ ഒരിക്കൽ ഉപയോഗിച്ച് ബാക്കിയുള്ള 99,99,999 സംഖ്യകളെല്ലാം 1 ആയി സജ്ജമാക്കുക എന്നതാണ്. ഇത് ഗുണനഫലത്തെ ഒരു കോടിക്ക് തുല്യമായി നിലനിർത്തുന്നു, കാരണം 1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഫലം മാറില്ല. അപ്പോൾ തുക 10,000,000 + 9,999,999 = 19,999,999 ആയി മാറുന്നു, ഇത് സാധ്യമായ പരമാവധിയാണ്. അതിനാൽ, തുകയ്ക്ക് ഉണ്ടാകാവുന്ന ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം 19,999,999 ആണ്.
