ഒരു കച്ചവടക്കാരൻ ഒരു ബാങ്ക് എക്കൗണ്ട് ആരംഭിക്കുന്നു. ആദ്യ ഡെപ്പോസിട്ട് തുക x എന്നിരിക്കട്ടെ. രണ്ടാമത് y. രണ്ടും പൂർണ സംഖ്യകൾ ആണു. മൂന്നാമത്തെ നിക്ഷേപം x + y , പിന്നീട് y + (x + y ) ഇങ്ങനെ പോകുന്നു. ഇരുപതാം തവണയിലെ നിക്ഷേപം പത്ത് ലക്ഷം രൂപ ആയിരുന്നെങ്കിൽ ആദ്യത്തെ നിക്ഷേപത്തുക എത്ര? ( x ഉം y ഉം ഒരു പത്ത് ലക്ഷത്തിൽ അവസാനിക്കുന്ന ഏറ്റവും നീളം കൂടിയ ഫിബോനാച്ചി ശ്രേണിയിലെ ആദ്യത്തെ പോസിറ്റീവ് പൂർണ സംഖ്യകൾ ആണെന്ന് പറഞ്ഞാൽ നിർധാരണം എളുപ്പമാവുമോ? ആ വഴി കൂടി ശ്രമിക്കാമൊ? )
ഉത്തരം താഴെ കമന്റായി രേഖപ്പെടുത്താം.
ഉത്തരം ശരിയാക്കിയവർ: ആരുമില്ല
x, y , ( x + y ) , ( x + 2y ), ( 2x + 3y ), ( 3x + 5 y ), ( 5x + 8y ), (8x + 13y) …. എന്നിങ്ങനെയാണ് നിക്ഷേപങ്ങൾ. ഇത്തരത്തിൽ കണക്ക് കൂട്ടിയാൽ 2584x + 4181y ആണ് ഇരുപതാം നിക്ഷേപം എന്ന് കിട്ടും.
2584x + 4181y = 10,00,000 ഇതിൽ നിന്ന് x ഉം y ഉം കണ്ടുപിടിക്കാൻ താരതമ്യേന ശ്രമകരമായ ഡയോഫന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങളൂടെ നിർദ്ധാരണം ചെയ്യേണ്ടി വരും. ഇവിടെയാണ് ഫിബോനാച്ചി ശ്രേണിയുടെ അവസാന സംഖ്യ 10 ലക്ഷം രൂപ ആണ് എന്നത് പ്രയോജനമാകുന്നത്. ഫിബോനാച്ചി ശ്രേണി വലുതാകും തോറും അടുത്തടുത്തുള്ള സംഖ്യകളുടെ അനുപാതം കനകാനുപാതത്തിനു (golden ratio) തുല്യമാകുന്നു എന്ന് കാണാം. അതായത് 10 ലക്ഷവും അതിനു മുൻപുള്ള നിക്ഷേപവും തമ്മിൽ ഉള്ള അനുപാതം 1.61803398875. ഇതിൽ നിന്നും തൊട്ട് മുൻപുള്ള സംഖ്യ 618034 ആണെന്ന് കിട്ടും. ഇനി നമുക്ക് ഫിബോനാച്ചി ശ്രേണി പുനർനിർമിക്കാം.
3,81,966
2,36,068
1,45,898
90,170
…
…
എന്നിങ്ങനെ
740
442
298
144
154
ഇതിൽ നിന്നും ആദ്യ നിക്ഷേപം 154 രൂപയും രണ്ടാമത്തേത് 144 രൂപയും ആണെന്ന് കാണാം.
