അടുത്തടുത്ത രണ്ട് സംഖ്യകൾ കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്ന 24 സംഖ്യകളും അഭാജ്യ സംഖ്യ (പ്രൈം നമ്പർ) ആകുന്ന രീതിയിലാണ് ചതുരത്തിൽ സംഖ്യകൾ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഈ പ്രത്യേകത നിലനിറുത്തിക്കൊണ്ട് ഇതേ സംഖ്യകളെ, ഇതേ ചതുരത്തിൽ പുനക്രമീകരിക്കാമോ? ഇത് എത്ര രീതിയിൽ സാധിക്കും?

ഉത്തരം താഴെ കമന്റായി രേഖപ്പെടുത്താം.

ഉത്തരം ശരിയാക്കിയവർ: റീജ നൽകിയ ഒരു ക്രമീകരണം ശരിയാണ്.  എത്ര രീതിയിൽ എന്ന ചോദ്യത്തിന് ആരും ശരിയുത്തരം നൽകിയില്ല

 

188 തരത്തിൽ ഇങ്ങനെ ചെയ്യാൻ കഴിയും.

കൂട്ടി കിട്ടുന്ന 24 സംഖ്യകളും ഒറ്റ സംഖ്യകൾ ആയിരിക്കും. ഒരേ ഒരു അഭാജ്യ സംഖ്യ 2 ആണു. 1 മുതൽ 16 വരെയുള്ള സംഖ്യകളിൽ ഏത് രണ്ട് സംഖ്യകൾ എടുത്ത് കൂട്ടിയാലും അത് 2 ൽ കൂടുതൽ ആയിരിക്കും. അതിനാൽ, അടുത്തടുത്ത ചതുരങ്ങളിൽ ഒറ്റ സംഖ്യകളും ഇരട്ട സംഖ്യകളും വരണം. രണ്ട് സംഖ്യകൾ കൂട്ടി കിട്ടുന്ന ഒറ്റ സംഖ്യകളിൽ ഒന്നും തന്നെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നവ ആകരുത്. 1 + 2 ഒഴികെ. ബാക്കി സംഖ്യകളെ 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ കിട്ടുന്ന ശിഷ്ടം നോക്കുക.

0 – 6,12

1- 1,7,13

2- 2, 8 , 14

3- 3,9,15

4- 4, 10, 16

5 – 5,11

ആദ്യം ശിഷ്ടങ്ങളെ ചതുരങ്ങളിൽ വിന്യസിക്കുക. അവയുടെ ആകെ തുക അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ ആകുന്ന തരത്തിൽ.

ഇത്തരം 5 രീതികൾ ഉണ്ടെന്ന് കാണാം.

1 0 1 4
0 1 4 3
5 2 3 4
2 5 2 3

 

ഇത്തരത്തിൽ ഒന്നാണു. (മറ്റ് നാലുരീതികൾ കൂട്ടുകാർക്ക് ശ്രമിക്കാമോ? )

ഓർമിക്കേണ്ട കാര്യം ഇത് ശിഷ്ടങ്ങൾ ആണു. ഇവയെ യഥാർഥ സംഖ്യകൊണ്ട് പിന്നീട് പൂരിപ്പിക്കുമ്പോൾ ആണു അവസാന ഉത്തരം കിട്ടുക എന്നതാണു. ഇവ എങ്ങനെ പൂരിപ്പിക്കും എന്നത് മറ്റൊരു പസിൽ ആയി കാണാം. രണ്ട് പൂജ്യങ്ങളെ 6, 12 എന്ന സംഖ്യകൾ കൊണ്ട് പൂരിപ്പിക്കണം. ഒന്നും രണ്ടും അടുത്തടുത്ത് വരുന്ന ഇടങ്ങളിൽ മാറ്റാൻ സാധിക്കില്ല. ബാക്കി 1 കളെ 7, 13 എന്നീ സംഖ്യകൾ കൊണ്ട് പൂരിപ്പിക്കണം. 3 നെ 3,9,15 എന്ന സംഖ്യകൾ കൊണ്ടും, 4 നെ 4,10,4,10,16 എന്നിവ കൊണ്ടും 5 നെ 5,11 കൊണ്ടൂം പൂരിപ്പിക്കണം. 2ന്റെയും 3 ന്റെയും ഗുണിതങ്ങൾ അടുത്ത് വരില്ല എന്ന് നമ്മൾ ഉറപ്പാക്കി കഴിഞ്ഞ സ്ഥിതിക്ക് ഇനി ഒഴിവാക്കാനുള്ളത് 5ന്റെ ഗുണിതമായ 25 ആണു. (9,16), (11,14), (12,13), (10,15) ഇവ അടുത്തടുത്ത് വരുന്നത് നമ്മൾ ഒഴിവാക്കണം.

ഈ നിബന്ധന മുകളിൽ കാണിച്ച ചിത്രത്തിൽ എങ്ങനെ നടപ്പിൽ വരുത്താം എന്ന് നോക്കാം.

  7 6 13 16
12 1 10 3
11 2 9 4
8 5 14 15

 

ശിഷ്ടങ്ങൾ ക്രമീകരിക്കാൻ ഉള്ള മറ്റൊരു രീതി താഴെ കാണാം.

1 4 1 4
0 1 4 3
5 2 3 2
0 5 2 3

ഇതിനെ 25 വരരുത് എന്ന മേൽപ്പറഞ്ഞ നിബന്ധന അനുസരിച്ച് പൂരിപ്പിച്ച് നോക്കൂ. 12, 13 അടുത്ത് വരാത്ത രീതിയിൽ 3 വിധത്തിൽ പൂരിപ്പിക്കാം. 14,11 അടുത്ത് വരാത്ത രീതിയിൽ 3 തരത്തിൽ പൂരിപ്പിക്കാം. 9,16 ഉം 15,10 ഉം അടുത്ത വരാത്ത രീതിയിൽ 14 തരത്തിലും പൂരിപ്പിക്കാം. മൊത്തം 14 * 3 * 3 = 126 രീതി. മുകളിൽ കണ്ടെത്താൻ പറഞ്ഞ 5 രീതികളും ശിഷ്ടങ്ങൾ മാറ്റി യഥാർഥ സംഖ്യകൾ നിറക്കുന്ന പല രീതികളിൽ ക്രമീകരിക്കാവുന്നതാണു. 16 വരെയുള്ള സംഖ്യകൾ എഴുതിയ കാർഡ് ബോർഡുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒന്ന് ശ്രമിച്ചു നോക്കൂ. മൊത്തം 188 വ്യത്യസ്ത ക്രമീകരണങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് കാണാം. (ശിഷ്ടങ്ങളുടെ ഒരു ക്രമീകരണവും അതിൽ നിന്ന് സംഖ്യകൾ പൂരിപ്പിക്കുന്ന വിധവും കണ്ടുവല്ലോ. ഇതിൽ നിന്ന് മറ്റ് ക്രമീകരണങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുമല്ലോ. ആദ്യം മുകളിൽ ഉള്ള ശിഷ്ടങ്ങളുടെ ക്രമീകരണത്തിൽ നിന്ന് തുടങ്ങാം.)

Leave a Reply