Solution:
60, 72, 84, 90 96: ഈ സംഖ്യകൾക്കെല്ലാം 12 ഘടകങ്ങളുണ്ട്

60=2² x 3¹ x 5¹
(3 x 2 x 2 = 12 ഘടകങ്ങൾ)
84=2² x3¹ x 7¹
(3 x 2 x 2 = 12 ഘടകങ്ങൾ)
96=2⁵ x 3¹
(6² = 12 ഘടകങ്ങൾ)
72=2³ x 3² (4 x 3 = 12 ഘടകങ്ങൾ)
90 = 2³^2⁵
(2 x 3 x 2 = ഘടകങ്ങൾ)
 

---

60, 72, 84, 90 96: These numbers have 12 factors
60=2² x 3¹ x 5¹ (3 x 2 x 2 = 12 factors)
84=2² x3¹ x 7¹
(3 x 2 x 2 = 12 factors)
96=2⁵ x 3¹
(6² = 12 factors)
72=2³ x 3²
(4 x 3 = 12 factors)
90 = 2³^2⁵
(2 x 3 x 2 = 12 factors)
 

---

Best Explanation : Umesh P Narendran
n എന്ന സംഖ്യയെ പൂർണ്ണഘടകങ്ങളാക്കിയാൽ n = a^p b^q c^r … എന്നാണെങ്കിൽ (a, b, c, … അഭാജ്യസംഖ്യകൾ, p, q, r,… > 0), n-ന്റെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം (p+1)(q+1)(r+1) ആയിരിക്കും. (ഇതു തെളിയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. a^p എന്നത് (p+1) വിധത്തിൽ സംഭവിക്കാം. a എന്ന അഭാജ്യസംഖ്യ 0 മുതൽ p വരെ തവണ ഘടകമായി വരാം.)

ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഘടകങ്ങൾ കിട്ടാൻ (p+1)(q+1)(r+1)… എന്നത് ഏറ്റവും വലുതായിരിക്കണം. അവ വലുതാകാൻ a, b, c എന്നിവ ഏറ്റവും ചെറുതാകണം, അതായത്, 2, 3, 5,… എന്നിങ്ങനെ. ചെറിയവ ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഉപയോഗിക്കണം.

2-ൽ തുടങ്ങാം. 2⁶ = 64 ആണ് p ഏറ്റവും വലുത്. ഇനി അതിനെ എന്തു കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാലും 99-ൽ കൂടും. 64-ന് 6+1 = 7 ഘടകങ്ങളുണ്ട്.
2⁵ = 32-നെ 3 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാൽ 96 കിട്ടും. ഇതു രണ്ടക്കസംഖ്യയാണ്. അപ്പോൾ a = 2, b = 3, p = 5, q = 1. 96-ന് (5+1)(1+1) = 12 ഘടകങ്ങളുണ്ട്.

ഇനി 2⁴ = 16 നെ 6 കൊണ്ടു വരെ ഗുണിക്കാം. 6 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാൽ മുമ്പു പറഞ്ഞ 96 തന്നെ. 5 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാൽ 2⁴ x 5 = 80. ഘടകങ്ങൾ = (4+1) (1+1) = 10.

2³ = 8-നെ 12 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാലും രണ്ടക്കസംഖ്യ തന്നെ. 12-ൽ താഴെ താഴെപ്പറയുന്ന സംഖ്യകൾ ഉണ്ട്.
9 = 3². അതായത്, 2³ x 3² = 72. ഘടകങ്ങൾ = (3+1)(2+1) = 12. ഇതും 96-നൊപ്പമാണ്.

2² = 4-നെ 24 വരെയുള്ള സംഖ്യകൾ കൊണ്ടു ഗുണിക്കാം. 2-ന്റെ ഗുണിതമല്ലാത്തവ നോക്കാം.
21 = 3 x 7. അപ്പോൾ 2² x 3 x 7 = 84. ഘടകങ്ങൾ = (2+1)(1+1)(1+1) = 12. പിന്നെയും 12.
15 = 3 x 5, അപ്പോൾ 2² x 3 x 5 = 60. ഘടകങ്ങൾ = (2+1) (1+1)(1+1) = 12. പിന്നെയും 12.
9 = 3². അപ്പോൾ 2² x 3² = 36. ഘടകങ്ങൾ = (2+1)(2+1) = 9.

ഇനി 2-നെ 49 വരെയുള്ള സംഖ്യകൾ കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാലും രണ്ടക്കസംഖ്യയായിരിക്കും. ഓരോന്നോരോന്നായി നോക്കാം.
2 x 7² = 98. ഘടകങ്ങൾ = (1+1)(2+1) = 6.
2 x 3² x 5 = 90. ഘടകങ്ങൾ = (1+1)(2+1)(1+1) = 12. പിന്നെയും 12.
2 x 3 x 13 = 78. 8 ഘടകങ്ങൾ.
2 x 5 x 7 = 70. 8 ഘടകങ്ങൾ.
2 x 3 x 11 = 66. 8 ഘടകങ്ങൾ.
2 x 3³ = 54. (1+1)(3+1) = 8 ഘടകങ്ങൾ.
2 x 5² = 50. 6 ഘടകങ്ങൾ.
2 x 3 x 7 = 42. 8 ഘടകങ്ങൾ.
2 x 3 x 5 = 30. 8 ഘടകങ്ങൾ.
2 x 3² = 18. 6 ഘടകങ്ങൾ.
അതായത്, അങ്ങേയറ്റം 12 ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടാവാം. 96, 72, 84, 60, 90 എന്നീ സംഖ്യകൾക്ക് 12 ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ട്.