Solution: 2178
abcd x
4
_______
dcba.
എന്നിരിക്കട്ടെ. ഇത് ഒരു നാലക്ക സംഖ്യയായതുകൊണ്ടു abcd യിലെ ആയിരങ്ങളുടെ സ്ഥാനത്തുള്ള അക്കം, അതായത് ‘a’, 1 ഓ 2 ഓ ആകണം. dcba 4 ഇന്റെ ഗുണിതമായതിനാൽ ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്. അപ്പോൾ a = 2 . ഇത് കിട്ടണമെങ്കിൽ d 3 ഓ 8 ഓ ആകണം (4 x 3 = 12, 4 x 8 = 32). d ഗുണനഫലത്തിന്ടെ ആയിരങ്ങളുടെ സ്ഥാനത്താകയാൽ 8 ആകണം. b യെ 4 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ അതിൽ ശിഷ്ട്ടം ഒന്നും ഇല്ല. അപ്പോൾ b 1 ഓ 2 ഒ ആകണം. a രണ്ടായതുകൊണ്ടു b = 1 . c യെ 4 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു ശിഷ്ടമായ 3 ഉം കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യയുടെ ഒനുകളുടെ സ്ഥാനത്ത് 1ആയതിനാൽ സി = 7 . അതായത് abcd=2178.
Let
abcd x
4
_______
dcba.
Since the product is a 4 digit number a has to be 1 or 2. Since dcba has to be even a = 2. This gives d = 3 or 8. Since d is at the thousands place in the product, it has to be 8. Now 4 times b does not leave a carry. So b has to be 1 or 2. But a = 2. Therefore b = 1. Now 4 times c with a carry of 3 has 1 in the units place. This gives 7 as the only possibility for c.
Best Explanation :Umesh P Narendran
[abcd] എന്ന സംഖ്യയെ 4 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാൽ [dcba] കിട്ടണം. അതിനാൽ a ഇരട്ടസംഖ്യയായിരിക്കണം. പക്ഷേ a > 2 ആയാൽ [dcba] ഒരു അഞ്ചക്കസംഖ്യയായിപ്പോകും. അതിനാൽ a = 2.
a= 2 ആയതിനാൽ, d = 3 അല്ലെങ്കിൽ 8. a-യെ 4 കൊണ്ടു ഗുണിച്ച് കാരി ഓവർ കൂട്ടിയാൽ d കിട്ടണം. അപ്പോൾ d 8 ആയേ പറ്റൂ.
a, d എന്നിവ കിട്ടിയ സ്ഥിതിയ്ക്ക് ഇനി സമവാക്യം എഴുതാം.
4 x (1000a + 100b + 10c + d) = 1000d + 100c + 10b + a
ഇതിൽ a=2, b=8 എന്നിവ ഇട്ടാൽ,
8000 + 400b + 40c + 32 = 8000 + 100c + 10b + 2
എന്നു വെച്ചാൽ
60c – 390b = 30
6c – 39b = 3
അങ്ങനെ ഇത് ഒരു congruence equation ആയി ചുരുങ്ങി. b = 0, 1, 2, 3, 4, 5 എന്നീ ആറു മൂല്യങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്ന പണിയേ ബാക്കിയുള്ളൂ.
b = 1, c = 7 എന്ന ഉത്തരം കിട്ടുന്നു.
അപ്പോൾ ഉത്തരം 2178 x 4 – 8712
